En el capítulo anterior tomamos al Sol como una esfera dorada que recorre arcos sobre la esfera celeste. Ahora vamos a poner una regla y un transportador en ese cielo: necesitamos coordenadas para describir la posición del Sol, y necesitamos la fórmula que las calcula a partir de los datos del observador.
1. El sistema horizontal del observador
Plántate en un campo abierto, mira al horizonte. Tu cielo es media esfera apoyada en el plano del suelo. Para indicar dónde está cualquier astro, sólo necesitas dos ángulos:
El azimut tiene una trampa: hay dos convenciones distintas en uso, y confundirlas mete la pata en cualquier cálculo. En la arquitectura mexicana, siguiendo a Plasencia (Gráfica Solar, 2001), se mide desde el sur, positivo hacia el oeste. Así, el Sol al amanecer está en azimut negativo (oriente), al mediodía solar está en 0° (sur, en latitudes del hemisferio norte fuera del trópico) y al atardecer está en positivo (poniente).
En estándares internacionales modernos, en cambio, suele medirse desde el norte en sentido horario: 0° = N, 90° = E, 180° = S, 270° = O. Las dos convenciones se relacionan por:
donde $\psi_\text{N}$ es el azimut desde el norte (sentido horario) y $\gamma_\text{S}$ desde el sur (positivo oeste). Mantén siempre clara cuál estás usando.
Con estos dos ángulos, $(\alpha, \gamma)$, ya describes cualquier punto en la mitad superior de la esfera celeste. La parte inferior corresponde a altitudes negativas y representa el Sol cuando está debajo del horizonte (es decir, cuando es de noche).
2. La bóveda del observador, en 3D
Antes de meterle números, vale la pena verlo. Mueve la bóveda celeste a continuación arrastrando con el cursor. Ajusta la latitud y observa cómo se inclina la trayectoria del Sol; ajusta la fecha y verás los arcos cambiar entre los extremos del solsticio. Pulsa "▶ Reproducir día" para ver el Sol moverse por su trayectoria.
3. El tiempo solar y por qué tu reloj miente
"Mediodía" no significa lo que parece. Para la geometría solar el mediodía es el instante en que el Sol cruza el meridiano local —es decir, cuando alcanza su altura máxima del día. Tu reloj no marca eso. Marca un promedio que asume que el Sol viaja a velocidad constante por la eclíptica, lo cual no es cierto, y que asume que estás en el meridiano estándar de tu zona horaria, lo que tampoco lo es a menos que tengas mucha suerte geográfica.
Hay tres correcciones que separan tu reloj del mediodía solar real:
Spencer (1971) dio una serie compacta para calcular E con buena precisión en función del día del año:
La conversión entre tu hora civil y la hora solar verdadera es:
Las longitudes están en grados (positivas al este). El factor 4 viene de que la Tierra rota 15°/hora ⟹ 1°/4 min. Si tu localidad está al este del meridiano estándar, el Sol llega antes y la corrección es positiva.
4. El ángulo horario
Una vez tienes la hora solar verdadera, el siguiente ángulo cae solo:
Con la convención usual: ω < 0 antes del mediodía (Sol al este del meridiano), ω = 0 al mediodía solar, ω > 0 después (Sol al oeste). A las 6 de la mañana solar, ω = −90°; a las 18 h solar, ω = +90°.
5. La ecuación maestra
Aquí es donde se ata todo. Dada la latitud del observador φ, la declinación del día δ y el ángulo horario ω, la altitud del Sol se obtiene de un único producto trigonométrico:
Esta es la fórmula central de la geometría solar arquitectónica. Mírala fijamente un momento. Cuando el Sol cruza el meridiano (ω = 0), cos ω = 1 y queda:
es decir, $\alpha_{\text{máx}} = 90^\circ - |\varphi - \delta|$. El Sol al mediodía está tan cerca del cenit como cerca esté la latitud del observador de la declinación del día. Para ti, en Mérida (φ ≈ +21°), el día más vertical del año es alrededor del 21 de mayo (cuando δ ≈ +21°), no el 21 de junio.
El azimut requiere un poco más de cuidado. Una forma compacta y
libre de ambigüedad usa la función atan2:
El argumento de atan2(y, x) es exactamente el ángulo del
vector horizontal que va del observador a la proyección del Sol sobre el
plano del horizonte, expresado en el sistema (sur, oeste). La función
devuelve el cuadrante correcto sin que tengas que preocuparte por signos.
Probémoslo en vivo
El widget de abajo aplica las fórmulas en tiempo real con los valores que tú elijas. Verás también la sustitución numérica para que puedas rastrear de dónde sale cada número.
ω = 15° × (Tsolar − 12). A las 6 h solar, eso da 15° × (6 − 12) = −90°. El signo negativo significa "antes del mediodía" — el Sol está 90° al este del meridiano local. ω no depende ni de la latitud ni del día del año: es puramente una conversión hora ↔ grados.6. ¿A qué hora sale y se pone el Sol?
El Sol sale (y se pone) cuando su altitud cruza por cero. Imponiendo α = 0 en la fórmula maestra:
despejando $\cos\omega_s$:
$$\cos\omega_s \;=\; -\tan\varphi\,\tan\delta$$El subíndice "s" en $\omega_s$ es por "salida" o "sunset". Por simetría, el ángulo horario al amanecer es $-\omega_s$ y el del ocaso es $+\omega_s$. La duración del día es $\frac{2\omega_s}{15°}$ horas.
Hay dos casos especiales:
- Si
−tan φ tan δ > 1, no hay solución: el coseno jamás llega a ese valor. El Sol no sale en todo el día — noche polar. Esto pasa por encima del círculo polar en invierno. - Si
−tan φ tan δ < −1, también no hay solución, pero por el otro lado: el Sol nunca se pone — día polar.
7. La tabla maestra de ángulos
Para no perderte, aquí está el resumen completo:
| Símbolo | Nombre | De qué depende | Rango |
|---|---|---|---|
| φ | Latitud del observador | posición geográfica | −90° a +90° |
| λ | Longitud del observador | posición geográfica | −180° a +180° |
| δ | Declinación solar | día del año | −23.45° a +23.45° |
| E | Ecuación del tiempo | día del año | ≈ −14 a +16 min |
| ω | Ángulo horario | hora solar | −180° a +180° |
| α | Altitud solar | φ, δ, ω | −90° a +90° |
| z | Ángulo cenital | = 90° − α | 0° a 180° |
| γ | Azimut solar (desde sur) | φ, δ, ω | −180° a +180° |
| ψ | Azimut (desde norte) | = 180° + γ | 0° a 360° |
| ωₛ | Ángulo horario al ocaso | φ, δ | 0° a 180° |
φ = 0, δ = 0, ω = 0: sin α = 0·0 + 1·1·1 = 1, luego α = 90°. El Sol pasa exactamente por el cenit. Este es el único par (latitud, fecha) en el que ocurre eso para el ecuador, pero recuerda que cualquier punto entre los trópicos tiene dos fechas al año donde le pasa lo mismo (cuando δ = φ).α = 90° − |φ − δ| = 90° − |32.5 − (−23.45)| = 90° − 55.95° ≈ 34°. Así de bajo va el Sol al mediodía en Tijuana en pleno invierno — útil para diseñar aleros que no obstruyan en esa fecha.Cierre
Tienes ahora la maquinaria entera para localizar al Sol: tres ángulos (altitud, azimut, ángulo horario), una declinación que depende del día, una corrección horaria menor y la ecuación maestra que las atornilla.
El problema es que esta maquinaria, aunque exacta, no es muy práctica para diseñar arquitectura. Necesitarías recalcular constantemente, no podrías ver de un vistazo "qué pasa con el Sol durante todo el año a las 4 de la tarde". Para eso, los arquitectos llevan más de un siglo dibujando todas estas fórmulas en una sola gráfica, plana y portátil: la carta solar estereográfica. Es lo que viene en el siguiente capítulo.